两端同号就断言没有根
ONE IDEA AT A TIME
把核心意思拆成三步
连续图像在区间两端异号，就必须穿过 x 轴；若还严格单调，则根至多一个。
- 01
方程 f(x)=0 的根就是函数零点
- 02
端点函数值异号保证至少一根
- 03
唯一性需要额外的单调性等条件
先用一句大白话记住不直接解方程，怎样先确认某个区间里一定有根？
接下来不要背结论，先在互动实验里改变条件，看结论什么时候成立、什么时候不成立。
本课关键表达连续 f 在 [a,b] 上且 f(a)f(b)<0 ⇒ (a,b) 内至少有一根
连续图像在区间两端异号，就必须穿过 x 轴；若还严格单调，则根至多一个。
05.01
函数应用
01先理解
02动手试
CHANGE IT · WATCH IT · EXPLAIN IT
移动区间端点，寻找异号区间
观察端点颜色，一旦异号就把根夹在中间。 每次改变一个条件，先预测，再观察结果。
互动实验 · 按 3 步完成先猜 → 只改一个量 → 用结论解释变化
f(a)-1
区间 [0, 1]f(b)1
两端异号：区间内至少有一根
函数 f(x)=x³+x−1 连续；注意“两端同号”并不等于“区间内一定没根”。
03看例题
WORKED EXAMPLE
夹住一个根
问题
说明 x³+x−1=0 在 (0,1) 内有根。
- 1
令 f(x)=x³+x−1，它连续
- 2
f(0)=−1<0，f(1)=1>0
- 3
两端异号
结论(0,1) 内至少有一个根；又因 f 严格递增，所以恰有一个
这节课最容易错在易错 1 易错 2 易错 3
异号后直接断言只有一个根
不说明函数连续
04马上练
QUICK CHECK
两道题，检查概念是否站稳
选择后立即显示原因。答错时先读解析，再重新选一次。
01
连续函数在区间两端异号可保证？
02
要进一步保证唯一，常结合？
本课练习0 / 2
完成两道练习后，就可以记录本课进度。